Babylone (à partir de - 1800)

Les traces d'une organisation sociale des mathématiques remontent à 1500 ans avant notre ère. Depuis près de 80 ans, nous avons connaissance de textes babyloniens écrits dans un système sexagésimal, divisible par les 6 premiers nombres, puis par 10, 12, 15, 20 et 30.

Cette manière d'écrire possède néanmoins quelques difficultés pour calculer parce qu'il ne possède pas de virgule (l'unité, donc l'ordre de grandeur, est déterminée par le contexte). En revanche, certains calculs ont été "mécanisés" sous forme de tables, tablettes ou cylindres, qui simplifient l'opération, et donnent parfois directement le résultat.

Les scribes utilisent ces outils pour effectuer les opérations courantes : addition, multiplication, exponentiation (en utilisant des tables de carrés, de cube , etc.); et des tables "à l'envers" pour les opérations inverses : soustraction, division et extraction de racines. Ces tables peuvent être de nature géométrique, pour certaines constantes comme l'aire du cercle en fonction de son diamètre, ou encore technique, comme la quantité de goudron par unité de surface. Il s'agit d'un moyen pour résoudre des problèmes d'ordre financier (calculs d'intérêts, amortissements, etc.); d'ordre commercial (modifications de barème, bénéfices, échange de produits à valeur égale, etc.); d'ordre notarial (partage des domaines entre héritiers); de planification d'architecture et de chantiers (calcul des tâches, travaux d'irrigation, fondations, terrassements, fournitures, transport, salariés, etc.); de fabrication (calcul des temps et des coûts), dont le texte proto-sumérien d'Uruk donne une illustration.

La formulation des problèmes a son importance dans l'enseignement mathématique autant d'un point de vue ludique (rendre attractif à l'élève l'effort qu'il doit fournir) que sélectif (les plus aptes à comprendre à demi-mot sont peut-être les meilleurs scribes). Le texte comprend généralement un énoncé du type "j'ai ajouté à mon carré son côté et j'ai obtenu 30" (ce qui équivaut pour nous à , soit une équation algébrique du second degré). Ensuite vient une série de consignes : "Toi, en opérant, tu dois faire ceci et cela, tu vas obtenir tant, etc.". Par une démarche analytique, conforme à ce que nous appelons aujourd'hui un calcul algébrique, on arrive au résultat : "Mon côté est tant". Vient ensuite la "preuve", à savoir que le résultat permet de retrouver les données. Dans notre exemple, la valeur du côté est 5 : le carré de 5 donne 25 (5x5), plus mon côté (donc 5) donne bien 30 (25 plus 5). Il s'agit là d'une "preuve" numérique, donc non formelle et non abstraite.

En terme de contenu, les Babyloniens savent extraire des racines carrées, résoudre des équations du second degré et quelques-unes du troisième ou quatrième, écrire des résultats sous forme de fractions, et résoudre des problèmes indéterminés , c'est-à-dire des problèmes en nombres entiers qui possèdent plus de solutions que d'inconnues. C'est un type de problème qui sera étudié par les Grecs, notamment par Diophante, et qui donnera naissance à l'époque de Fermat , à ce que l'on appelle la théorie des nombres. Ils connaissent également, en géométrie, les surfaces du carré, du rectangle, du triangle rectangle dont ils savent que le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux autres côtés (théorème de Pythagore), les triangles équilatéraux, les hexagones, les polygones réguliers et la possibilité de les inscrire dans un cercle (calcul de Pi), les partages de trapèzes et des quadrilatères quelconques par des lignes transversales, le cercle, le demi cercle et les arcs de cercles dont la surface a été approchée. Dans les volumes, ils savent calculer celui du cube, du parallélépipède, du prisme, du cylindre, du tronc de pyramide à base carrée et possèdent des valeurs approchées pour les troncs de cône (approchées parce que Pi est égal à 3 pour eux, même s'ils savent que cette valeur n'est pas exacte).

Les documents les plus riches datent de la grande dynastie d'Hammurapi (XVIII° siècle avant notre ère). Aujourd'hui interprétés, ils traduisent une vision utilitariste des mathématiques, d'une part dans leur formulation non formelle et non abstraite, d'autre part parce qu'elles n'indiquent pas de théorèmes mais seulement la procédure à suivre devant tel type de problème.

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