Entiers Naturels

C'est la suite des entiers positifs : 1, 2, 3, ... Si on inclut le zéro, cet ensemble se note N. Parmi ces nombres sont inclus les nombres premiers (divisibles seulement par eux comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... et différents de 1).

On appelle parfaits les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs :

6=1+2+3,

28=1+2+4+7+14,

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

Nombres Entiers

Lorsqu'on ajoute aux entiers naturels le zéro et les nombres négatifs, on obtient l'ensemble Z (de moins l'infini à plus l'infini).

Nombres Rationnels

Il s'agit des nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction. Par exemple : 0,5 = 1/2;

1, 3333... = 4/3, etc.

Cet ensemble est noté Q et inclut Z et N puisque tout entier peut s'écrire sous forme de fraction (2/1 = 2).

Nombres Irrationnels

Ce sont les nombres dont le développement décimal est infini et non périodique. Ils ne peuvent donc pas s'écrire sous forme de fraction, comme (racine de 2) par exemple. La plupart des nombres sont irrationnels, leur nombre, bien qu'infini, est supérieur à celui, infini également, des entiers.

Nombres Réels

La réunion des rationnels et des irrationnels forme l'ensemble des réels, noté R. Cet ensemble a été construit durant la deuxième moitié du XIX° siècle par des mathématiciens comme Karl Weierstrass, Richard Dedekind ou Georg Cantor. Il s'agit de "compléter" l'ensembles Q avec les limites des suites convergentes, comme par exemple

Pi/4 = 1-1/3+1/5-1/7...

Ainsi construit, l'ensemble R peut être assimilé à une droite dont à chacun de ses points pourrait être associé un seul et unique nombre réel, et réciproquement.

Nombres Complexes

Inventés au XVI° siècle entre autres par Jérôme Cardan et Rafaello Bombelli, ces nombres permettent de résoudre des équations n'ayant pas de solutions dans les reéls, par exemple . L'idée est donc d'introduire un nombre imaginaire i tel que , ou encore tel que . Un nombre complexe s'écrit sous la forme a + ib avec a et b réels, et l'ensemble des complexes est noté C.

Nombres Algébriques

Un nombre algébrique est un nombre solution d'une équation algébrique, à savoir un polynôme dont les coefficients sont entiers, par exemple.

De même, il existe des nombres complexes algébriques, solution par exemple de .

Nombres Transcendants

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont transcendants. Ferdinand von Lindemann a montré en 1882 que Pi est un transcendant. Les transcendants sont infiniment plus nombreux que les algébriques.

Quaternions

Appelés aussi hypercomplexes, ces nombres ont été inventés en 1843 par William Rowan Hamilton pour généraliser les nombres complexes. Ils s'écrivent sous la forme a+bi +cj + dk où a, b, c sont réels et où i, j, k vérifient certaines propriétés. Les quaternions sont la source des méthodes vectorielles; ils ont été utilisés au XIX° siècle pour l'étude de la géométrie dans l'espace, ou encore en mécanique.

Nombres Transfinis

Un cardinal transfini est une mesure du nombre d'éléments d'un ensemble infini et un ordinal transfini généralise la notion d'ordre aux ensembles infinis. Par exemple, l'ensemble Q ou l'ensemble des nombres algébriques sont dits dénombrables parce qu'à chaque élément de ces ensembles, on peut associer un entier naturel de l'ensemble N. En revanche, l'ensemble des nombres irrationnels, qui ne possède pas le même cardinal que N, n'est pas dénombrable : ces nombres sont infiniment plus nombreux que les entiers ou les rationnels.

Quelques Nombres...

PI ou : c'est sans doute la constante la plus célèbre des mathématiques. Approchée depuis l'Antiquité (cf Calcul de Pi), ce nombre est irrationnel et transcendant, ce qui signifie entre autres que l'on ne peut pas construire avec la règle et le compas un carré dont l'aire serait égale à celle d'un cercle (quadrature du cercle).

e, soit le résultat de l'expression quand n tend vers l'infini, est égal à 2,718281... Euler a montré que ce nombre est irrationnel et Charles Hermite, en 1873, qu'il est également transcendant. Cette constante intervient de façon essentielle dans la résolution des équations différentielles linéaires.

Nombre d'or : appelé aussi la divine proportion, il se retrouve en architecture, esthétique ou encore en phyllotaxie, c'est-à-dire dans la disposition des feuilles autour de la tige des plantes. Il vaut soit 1,61803398..., et appartient à l'ensemble des nombres irrationnels car il ne peut pas s'écrire sous forme de fraction, mais c'est un nombre algébrique puisqu'il est solution positive de l'équation